Home semester III. Makalah Distribusi Normal Dan Binominal

Makalah Distribusi Normal Dan Binominal

1181
0
KATA PENGANTAR

Om Swastyastu,
Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), lantaran atas asungkerta waranugrahanya kiprah makalah ini sanggup terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi kiprah salah satu mata kuliah Statistik Ekonomi Lanjutan. 
Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah ini yang berjudul “Distribusi Normal Baku dan Binominal” Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran semoga pembuatan makalah selanjutnya sanggup di buat semaksimal mungkin.
Meskipun dalam penyusunan makalah ini, penulis telah berusaha dengan maksimal, namun penulis masih merasa mempunyai kekurangan dalam makalah ini, maka dari itu penulis meminta kritik dan saran pembaca makalah ini. Kami berharap makalah ini sanggup bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Harapan dari penulis semoga penyusunan makalah ini, sanggup menawarkan manfaat bagi setiap orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat diharapkan demi terwujudnya kesempurnaan makalah ini.
Om Shanti Shanti Shanti Om

Denpasar, 3 Oktober 2018
Penyusun

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR………………………………………………………….…….i
DAFTAR ISI…………………………………………………………………….…..ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang………………………………………………………………..1
1.2. Rumusan Masalah……………………………………………………………1
1.3. Tujuan Penulisan……………………………………………………………..1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Distribusi Normal dan Binominal………………………………………..……2
2.2 Distribusi Normal Baku…………………………………………………..……8
2.3 Pendekatan Distribusi Normal untuk Distribusi Binominal………………..12
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan…………………………………………………………………….17
3.2 Saran……………………………………………………………………………17
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………….18

BAB I 

PENDAHULUAN 

1.1. Latar Belakang 

Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada kala ke 19. Pada waktu itu, para hebat matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya kalau seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka kesannya akan berbeda-beda. 
Yang menjadi pertanyaan ialah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian menurut akad maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error. 
Abraham de Moivre ialah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini ialah distribusi Gauss. 
Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang-ulang, dan ia menemukan hasil yang paling sering ialah nilai rata-rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga kalau disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris. 
1.2. Rumusan Masalah 
1. Apa pengertian pengertian dari distribusi Normal dan Binominal? 
2. Apa sajan pengertian distribusi normal baku? 
3. Apa pengertian dari pendekatan distribusi normal untuk distribusi minominal 
1.3. Tujuan Penulisan 

1. Utuk mengetahuai pengertian distribusi normal dan binominal! 
2. Untuk mengetahui pengertian distribusi normal baku! 
3. Untuk mengetahui pengertian pendekatan distribusi normal dan distribusi binominal! 
BAB II 
PEMBAHASAN 
2.1 Distribusi Normal dan Binominal 
  • Distribusi Binomial 
Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) ialah suatu distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, mirip sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala- ekor dll. 
Ciri-ciri distribusi Binomial ialah sbb: 
1. Setiap percobaan hanya mempunyai dua peristiwa, mirip ya-tidak, sukses-1. Setiap percobaan hanya mempunyai dua peristiwa, mirip ya-tidak, sukses-gagal. 
2. Probabilitas suatu kejadian ialah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 
3. Percobaannya bersifat independen, artinya kejadian dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi kejadian dalam percobaan lainnya. 
4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu. 
  • Rumus Distribusi Binomial 
a). Rumus binomial suatu peristiwa 
Probabilitas suatu kejadian sanggup dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu kejadian dituliskan: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
b). Probabilitas binomial kumulatif 
Probabilitas binomial kumulatif ialah probabilitas dari kejadian binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif sanggup dihitung dengan memakai rumus: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Contoh: 
Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari kejadian berikut: 
a). Mata dadu 5 muncul 1 kali 
b). Mata dadu genap muncul 2 kali 
c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali. 
Penyelesaian: 
a). Karena dadu mempunyai 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi mempunyai probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 ialah 1/6, sehigga: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
  • Distribusi Normal 
Distribusi Normal ialah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss. Distribusi Normal mempunyai bentuk fungsi sebagai berikut: 
Keterangan: 
X = nilai data µ = rata-rata x 
π = 3,14 
e = 2,71828 
σ = Simpangan baku 
a). Karakteristik Distribusi Normal: 
Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yangmenyertainya mempunyai beberapa karakteristik sebagai berikut: 
1. Kurva normal berbentuk lonceng 
2. Simetris 
3. Asimtotis 3. Asimtotis 
  • Karakteristik Distribusi Kurva Normal 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo) 
2. Kurva berbentuk simetris 
3. Kurva normal berbentuk asimptotis 
4. Kurva mencapai puncak pada ketika X= µ 
5. Luas kawasan di bawah kurva ialah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. 
  • Jenis-Jnis Distribusi Normal 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
a). Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
b). Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
c). Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda 
Grafik kurva normal: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
P(x≤µ) = 0,5 
P(x≥µ) = 0,5 Luas kurva normal: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Luas kurva normal antara x=a & x=b => probabilitas x terletak antara a dan b 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
2.2 Distribusi Normal Baku 
Distribusi normal standard (baku) ialah distribusi normal yang mempunyai sifat khusus, yaitu distribusi dengan : rata-rata(µ) = nol(0) dan simpangan baku(σ) = satu(1). Distribusi normal standard (baku) muncul sebagai solusi dari adanya problem dalam penyusunan tabel distribusi normal. Masalah tersebut ialah kenyataan bahwa terdapat berbagai macam distribusi normal dipengaruhi oleh nilai rata-rata dan simpangan baku nya. Oleh lantaran itu semoga kita tetap sanggup mencari probabilitas suatu interval dengan memakai langkah mudah melalui tabel distribusi normal daripada perhitungan metode integral yang lebih kompleks, maka digunakanlah apa yang disebut dengan distribusi normal standard (baku). 
Maka dari itu, seluruh pengamatan dengan setiap peubah acak normal X sanggup ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan gres suatu peubah acak normal Z dengan rata-rata = nol dan simpangan baku = satu. Hal ini sanggup dikerjakan dengan transformasi sebagai berikut: 
Keterangan: Z = angka baku/standard 
X = nilai data 
µ = rata-rata populasi 
σ = simpangan baku populasi 
Bentuk transformasi di atas memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standard (baku), lantaran distribusi normal dengan variabel Z ini mempunyai nilai rata-rata = nol dan simpangan baku = satu. Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurva distribusi normal nya. Artinya, Luas di bawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2. Hal ini terjadi, lantaran bagaimanapun hanya nilai-nilai Z dari variabel-variabel yang berdistribusi normal yang akan dengan sendirinya berdistribusi normal sehingga transformasi dari Z tidak mengubah bentuk maupun luasnya. 
Selanjutnya, aspek dari distribusi normal yang tidak kalah penting nya ialah tabel distribusi normal standard. Table distribusi standard disusun untuk menghitung probabilitas nilai-nilai variable normal standard. Tabel distribusi normal standar dibuat hanya untuk menghitung belahan sebelah kanan rata-rata dari distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai di sebelah kiri, maka nilai Z yang negatif dianggap sama dengan Z positif, sehingga tabel tersebut tetap sanggup digunakan. Nilai-nilai probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut ialah nilai probabilitas antara μ = 0 dan satu nilai Z tertentu, bukan antara dua buah nilai Z sembarang. 
  • Pentingnya distribusi normal dalam statistika 
Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu ialah distribusi normal. Ada 2 kiprah yang penting dari distribusi normal: 
Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam mengambil suatu kesimpulan menurut hasil sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi. 
Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga sanggup dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss 
  • Ciri-ciri distribusi normal 
1. Distribusi normal mempunyai beberapa sifat dan ciri, yaitu: 
2. Disusun dari variable random kontinu 
3. Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal) 
4. Kurva berbentuk simetris dan ibarat lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik. 
5. Kurva normal dibuat dengan N yang tak terhingga. 
6. Peristiwa yang dimiliki tetap independen. 
7. Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik sanggup dikembangkan hingga tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis. 
  • Distibusi normal standar 
Suatu distribusi normal tidak hanya mempunyai satu kurva, tetapi merupakan kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1 pegangan sebagai distribusi normal yang standar. 
Ada 2 cara untuk memilih distribusi normal: 
1. cara ordinat: 
Menggunakan rumus distribusi normal berikut: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
µ = rata-rata 
σ = simpang baku 
π = 3,1416 (bilangan konstan) 
e = 2,7183 (bilangan konstan) 
X = absis dengan batas -∞ < X < π 
Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nlai y sehingga kalau nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya σ. 
a) Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya kalau σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi. 
b) Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau dengan µ dan σ yang berbeda 
2. Cara luas 
Kurva normal ialah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini akan membagi luas kurva menjadi 2 belahan yang sama.Seluruh luas kurva = 1 atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 belahan yang sama.Berarti luas tiap belahan ialah 50%. 
Setiap penyimpangan rata-rata sanggup ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva. 
penyimpangan ke kanan dan ke kiri: 
-.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva. 
-.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva. 
-.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva. 
Proses standarisasi sanggup dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal standar) 
Z = x – µ 
x = nilai variable random 
µ = rata-rata distribusi 
σ = simpang baku 
Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD. 
1. Standarisasi penting dilakukan lantaran ada variabel random yang mempunyai satuan yang berbeda-beda, mirip cm, kg, bulan. 
2. Untuk memudahkan perhitungan sanggup digunakan sebuah table yang memperlihatkan luas area di bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit SD. 
Misalnya: luas 95% ialah 1,96 SD. 
Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan µ = 0 dan σ = 1. 
  • Pengunaan Tabel Distribusi Normal 
Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. 
Kolom paling kiri memperlihatkan nilai Z, tertera angka 0 hingga 3 dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 hingga 9. 
Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96 
a) Maka di kolom kiri kita cari nilai1,9 dan baris atas kita cari angka 6 
b) Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga pertemuan titik yang memperlihatkan angka 0,4750. 
c) Berarti luas kawasan di dalam kurva normal antara rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan ialah 0,475. 
d) Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan 1,96 ke kanan dan ke kiri dari rata-rata ialah 0,95 (95%). 
  • Aplikasi distribusi normal 
Sebagai teladan aplikasi distribusi normal, dilakukan suatu penilaian thd pengobatan TB  memakai Rifampicin dengan rata-rata kesimpulan 200 hari dan standar deviasinya sebesar 10. Berapakah probabilitas kesembuhan antara 190 dan 210? 
Jawab: 
Mula-mula dihitung nilai Z =210 
Z= (210-200)/10 = 1=0,3413 
jadi probabilitas kesembuhan 190 hingga 210 = 0,3413+0,3413=0,6826=68,26\ 
2.3 Pendekatan distribusi Normal dan Distribusi Binomial 
Bila n besar sekali, distribusi binomial sanggup disesuaiakan sedemikan rupa sehingga sanggup didekati dengan distribusi normal standar. Pada makalh ini akan di bahas betapa pembiasaan tersebut sanggup dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Seperti telah kita ketahui, variable random X atau jumlah sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1. 
Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jmlah variable diatas sanggup didekati dengan distribusi normal kalau n makin menjadi besar. 
Batas distribusi binomial sanggup di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut: 
1. Distribusi binomial merupakan sebua distribusi yang diskrit sedangkan distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial lantaran luas selalu digunakan untuk menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu. 
2. Skala X perlu diganti dengan skala Z semoga tidak terjadi proses “bergerak” dan “mendatar” kalau n berangsur-angsur menjadi besar. 
3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial sanggup dilakukan dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal. 
Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X ialah sama dengan 1. Hal demikian da[at dilihat pada diagram dibawah ini: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Probabilitas variable random X merupakannilai antara a dan b dan sanggup dinyatakan sebagai kawasan bergaris dari kurva diagram 10.3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(X = a ) = 0 lantaran luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang mempunyai lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit lantaran p(X = a) dimana a = 5 tidak usah sama dengan 0. 
Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial sanggup dilakukan dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang mempunyai lebar sama dengan satu unit serta mempunyai tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih jelasnya sanggup dilihat pada diagram dibawah ini 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Setiap perubahan pada variable random X akan menjadikan proses “bergerak”. Satu cara untuk membendung “gerakan” tersebut ialah dengan membuat sebuah variable baru, yaitu Y = X – np. 
Distribusi variable gres Y mempunyai np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut mempunyai Oy = akar dari npq . Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal yang standar mempunyai Uz = 0 dan Oz = 1, sehingga variable random Y yang  mempunyai µz= np = 0 dan σy =√npq masih perlu disesuaika semoga σy nya sama dengan 1. 
Bila npq > 0, maka Y/ √npq akan menghasilkan variable random gres Z yang mempunyai σy = 1seperti dalam halnya distribusi normal yang standar. 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
1 sedangkan nilai-nilai tersebut masing-masing akan sama dengan µx dan σz dari distribusi normal yang standa. Bila n menjadi besar, ordinat-ordinat pusat (tinggai ordinat-ordinat) dari luas grafik probabilitas Z tidak akan mendatar. Karena µz = 0, maka proses “bergerak” tidak terjadi dank arena σz= 1, maka “perluasan” pun tidak terjadi . 
Pendekatan probabilitas binomial dengan luas yang terdapat dibawah kurva normal sanggup dilakukan dengan dukungan Tabel normal. 
Contoh 10.3.1 Diketahui distribusi binomial mempunyai n = 8 dan p = 1/2, sedangkan grafiknya dinyatakan mirip dalam diagram dibawah ini 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Pendekatan distribusi binomial dngan distribusi normal sanggup dilakukan sebagai berikut: 
np = 10 x 1/2= 5 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
Sesuai dengan rumus 10.3.1, kita peroleh persamaan korelasi antara X dan Z sebagai berikut: 
 Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa  Makalah Distribusi Normal dan Binominal
BAB III 
PENUTUP 
3.1 Kesimpulan 

Berdasarkan pembahasan yang telah penyusun uraikan diatas, maka sanggup disimpulkan bahwa distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika ialah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal terbentuk lonceng yang menggambarkan dengan cukup baik banyak tanda-tanda yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Abraham de Moivre ialah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini ialah distribusi Gauss. 
3.2 Saran 
Dalam penulisan makalah ini kami meyadari bahwa masih banyak kekeliruan dan kesalahan dalam hal penulisan dan penyusunannya. Oleh lantaran itu, kami menantikan saran dan kritikan yang sifatnya membangun untuk perbaikan selanjutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan sanggup menambah pustaka keilmuan mahasiswa. 
DAFTAR PUSTAKA 

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.